a) Primero se saca el cuadrado del término común.b) Se hace la suma de los términos no comunes y se multiplica por el término común.c) Se multiplican los términos no comunes, ejemplo:
1.- ( 3x +5) (3x – 2)= 9x2 + 9x – 10
a) El cuadrado del término común.(3x)2= (3x) (3x) = 9x2
b) La suma de los términos no comunes por el término común.
(+ 5-2) (3x) = (3) (3x) = +9x
c) Se multiplican los términos no comunes.
(5) (-2) = -10
2.- ( x + y) (x + z) = x2 + x ( y x z)
a) el cuadrado del término común (x)2 = x2
b) La suma de los términos no comunes por el término común.
(y + z) (x) = x (y + z)
c) la multiplicación de los términos no comunes.
(y) (z) = yz
Comprobando por medio de la multiplicación.
x2 + xy + xz + yz = x2 + xy + xz + yz
Realiza las siguientes multiplicaciones por medio de la regla del producto notable para los
binomios con un término común.1. (8x – 5) (8x –3)2. (5 y2 – 3x) (5y2 + 2x)3. (3 a2 b +2) (3 a2 b + 2x)4. (8x2 – 3y) (8x2 – 2y)5. ( 9xy2z3 – 2x1/2) (9x2z3 + 3)
Solución:
1. 64 x2 – 64x + 15
2. 25 y4 – 5xy2 –6x2
3. 9 a4 b2 + 6 a2 b x + 6 a2 b + 4x
5. 81 x2 y4 z6 – 18 x3/2 y2 z3 + 27 xy2z – 6x1/2
Existen dos productos que también son productos notables, pero no es muy común que los encontremos.
a) Si la suma de dos números se multiplica por el cuadrado del primer término, menos el producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo, se obtiene como resultado el cubo del primero, más el cubo del segundo término.
Esto es, (a+b) (a2–ab+b2)=a3+b3
Si efectuamos la multiplicación.
Si lo hacemos según la regla.
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
El cubo del primero (a)3 = a . a . a = a3
más el cubo del segundo = (b) 3 b. b. b = b3
b) Si la diferencia de dos números, se multiplica por el cuadrado del primero, más el producto de los términos, más el cuadrado del segundo término, se tiene como resultado el cubo del primero, menos el cubo del segundo término.
Es decir, si tenemos (x – y) (x2 + xy + y2)
Al hacer la multiplicación.
Podemos obtener el mismo resultado si sólo seguimos la regla:
(x – y) (x2 + x y + y2) = x3 – y3
a) El cubo del primer término.(x)3 = x . x .x= x3 – y3
b) El cubo del segundo término.
(- y )3 = - y . –y. –y = y3
Problemas de aplicación.
Puedes resolver estos problemas, mediante el uso de
productos notables,
1) Calcular el área de un cuadrado que tiene como lado ( a + b)
2) Calcular el área de un rectángulo, cuya base es ( 2x +4) y cuya altura es (2x –3).
3) Calcular el volumen de un sólido rectangular que tiene como base un rectángulo de (x +y) metros de lado y su altura es de (2 x –y) metros
4) ¿A qué distancia el punto de partida se encuentra después de (a–y) horas en un tren que corre ( a2+ay+y2) km por hora?
5) Calcular el precio de un terreno que tiene (2x – 5y) m de base y ( 2x + 5y)m de altura. El precio del metro cuadrado es (4x2+10y2) pesos.
Solución:
1) A= a2+ 2 ab + b2
2) A= 4x2 + 2x – 12
3) V= (X2 – y2) (2x – y) = (2x3 – x2y – 2xy2 + y3)m3
4) d= a3 – y3
5) 16x2 – 60x2y2 – 250 y2 pesos cuesta el terreno.
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 − 33 =
= 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27
Ejemplos
1(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 =
= x3 + 6x2 + 12x + 8
2(3x − 2)3 = (3x)3 − 3 · (3x)2 · 2 + 3 · 3x · 22 − 23 =
= 27x 3 − 54x2 + 36x − 8
3(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 ·5 + 3 · 2x · 52 + 53 =
= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125
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